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預(yù)備知識電容

圖 1：電容并聯(lián)（左）和串聯(lián)（右）

$n$ 個電容并聯(lián)和串聯(lián)公式分別為

\begin{equation}C=\sum_{i=1}^{n}C_i\end{equation}

\begin{equation}\frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i}\end{equation}

特殊地，$n = 2$ 時并聯(lián)公式可變形為

\begin{equation}C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}\end{equation}

電容的并聯(lián)

如 左邊為兩電容器的并聯(lián)，由于并聯(lián)電壓相等

\begin{equation}U_1=U_2=U\end{equation}

由電容的定義知道

\begin{equation}\begin{aligned}Q_1=C_1U\\Q_2=C_2U\end{aligned}\end{equation}

所以，兩電容器并聯(lián)后總電容為

\begin{equation}C=\frac{Q_1+Q_2}{U}=\frac{Q_1}{U}+\frac{Q_2}{U}=C_1+C_2\end{equation}

\begin{equation}C = C_1 + C_2\end{equation}

對于 $n$ 個電容器的并聯(lián)，可采取同樣的證明方法，結(jié)果有

\begin{equation}C=\sum_{i=1}^{n}C_i\end{equation}

上式也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明．

電容的串聯(lián)

如 右邊為兩電容器的串聯(lián)．對于串聯(lián)，兩電容器電荷量 $Q$ 相等

\begin{equation}Q_1=Q_2=Q\end{equation}

由電容的定義知道

\begin{equation}\begin{aligned}U_1=\frac{Q}{C_1}\\U_2=\frac{Q}{C_2}\end{aligned}\end{equation}

所以，兩電容器串聯(lián)后總電容為

\begin{equation}{C} = \frac{Q}{U_1+U_2} = \frac{Q}{\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}} = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2}\end{equation}

或

\begin{equation}\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\end{equation}

與電容的并聯(lián)類似電容的串聯(lián)，可證明對于 $n$ 個電容器的串聯(lián)，有

\begin{equation}\frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i}\end{equation}

習(xí)題 1

用數(shù)學(xué)歸納法分別證明 $n$ 個電容器的串聯(lián)和并聯(lián)公式（證明可參考彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)）

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文章由啟和科技編輯