偶然點到這個問題，這是一個很有意思的現(xiàn)象，恰好我最近就在學習和設計開關電容電路（switched capacitor converter），愿意和大家探討學習一下。

（一共有11幅圖，大家酌情點開）

首先我們看第一種情況：一個恒壓源Vo給電容C充電

可以看到電壓源損失的能量是CVo^2，而電容C上獲得的能量是0.5CVo^2，那么一半的能量在充電過程中損失了。如果我們假設開關是理想的，Ron=0，那么loss是那里產(chǎn)生的呢？有答案認為是電磁輻射發(fā)散出去的。我們知道，如果開關是理想的，在接通開關的一瞬間，開關上流過的電流是無窮大的，一個無窮大的電流流過Ron=0的開關，產(chǎn)生的loss其實是一個取極限的結(jié)果：

。不管怎樣，我們知道了一個恒壓源Vo給電容C充電要有0.5CVo^2的loss.

第二種情況：一個電壓為Vo的巨大電容Cbig給一個電壓為V1的電容C充電（Vo>V1），使小電容電壓到Vo，我們?nèi)匀患僭O開關是理想的，Ron=0.

可以看到Cbig電容損失的能量是CVo(Vo-V1), 而C電容上獲得的能量是0.5C（Vo^2-V1^2）,充電過程中損失的loss是0.5*C（V0-V1）^2，所以，我們可以看到電壓不同的電容之間充電也會有l(wèi)oss的。

那么有些不死心的朋友要問了：有沒有情況下給電容充電是無損（lossless）的呢？答案是有的，我們來看第三種情況：一個電流源I給電容充電，把電容的電壓從V1提升到V0.

可以看到電流源I損失的能量等于電容上得到的能量等于0.5C（Vo^2-V1^2）,充電過程是無損的！

以上就是開關電容電路（switched capacitor converter）的loss雛形，那么我們?yōu)槭裁匆M盡心思搞這個有l(wèi)oss的switched capacitor converter呢？這是因為在實際生活中，好電容易得，但好電感難求！尤其是在集成電路（integrated circuit）領域，magnetics（比如電感、變壓器）是很難集成到芯片里面的，如果我們只用電容和transistor搭建一個converter，功率密度（power density）會極大提高！1k-2k W/inch3 的converter也是有可能做出來的！

舉一個例子電容電路電容電路，我們來看一個最經(jīng)典結(jié)構(gòu)： 2-1 ladder switched capacitor converter。其中gate signal：Q1與Q3同時開啟與關閉，Q2與Q4同時開啟與關閉。g1與g2，g3與g3是half bridge，也就是兩對complementary開關的管子。Marek和Dragan在1995年一篇TPE [1] 上提出任何switched capacitor converter都可以建模成一個DC變壓器和一個輸出電阻Ro，DC變壓器的變壓比M代表了converter的conversion ratio，輸出電阻Ro代表了Converter的Loss。這里存在一個所謂的“Fast Switching Limit”和“Slow Switching Limit”問題了。這是什么意思呢？就是說SC converter在不同頻率下代表Loss的Ro是不同的！那么如何求出M和RFSL（Fast Switching Limit Rout）和RSSL（slow Switching Limit Rout）成了我們關心的問題。

Mike.Seeman大神在他MS thesis [2] 里面詳細闡述了這個問題，他用的是charge flow analysis，意思就是求出每個情況下通過各個elements的charge，然后進行M和loss Ro的計算。具體細節(jié)我就不贅述了，我自己瞎逼推導了一下，大家隨便看看。